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题目
题型:不详难度:来源:
(1)如图①,P为△ABC的边AB上一点(P不与点A、点B重合),连接PC,如果△CBP∽△ABC,那么就称P为△ABC的边AB上的相似点.
画法初探
①如图②,在△ABC中,∠ACB>90°,画出△ABC的边AB上的相似点P(画图工具不限,保留画图痕迹或有必要的说明);

辩证思考
②是不是所有的三角形都存在它的边上的相似点?如果是,请说明理由;如果不是,请找出一个不存在边上相似点的三角形;
特例分析
③已知P为△ABC的边AB上的相似点,连接PC,若△ACP∽△ABC,则△ABC的形状是   
④如图③,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,P是边AB上的相似点,求的值.
(2)在矩形ABCD中,AB=a,BC=b(a≥b).P是AB上的点(P不与点A、点B重合),作PQ⊥CD,垂足为Q.如果矩形ADQP∽矩形ABCD,那么就称PQ为矩形ABCD的边AB、CD上的相似线.

①类比(1)中的“画法初探”,可以提出问题:对于如图④的矩形ABCD,在不限制画图工具的前提下,如何画出它的边AB、CD上的相似线PQ呢?
你的解答是:   (只需描述PQ的画法,不需在图上画出PQ).
②请继续类比(1)中的“辩证思考”、“特例分析”两个栏目对矩形的相似线进行研究,要求每个栏目提出一个问题并解决.
答案
(1)①在∠ABC内,作∠CBD=∠A,在∠ACB内,作∠BCE=∠ABC,BD交CE于点P,则P为△ABC的自相似点;②不是,如正三角形;③直角三角形;④;(2)①在距离A点b2a处取点P,作PQ⊥CD,垂足为Q;②辩证思考:问题:是不是所有的矩形都存在它的边上的相似线?如果是,请说明理由;如果不是,请找出一个不存在边上相似线的矩形.解答:不是,如正方形.
解析

试题分析:(1)①根据“自相似点”的定义结合相似三角形的判定方法求解即可;
②根据“自相似点”的定义结合相似三角形的判定方法即可作出判断;
③根据“自相似点”的定义结合相似三角形的性质即可作出判断;
④先根据等腰三角形的性质求得∠B、∠ACB的度数,再根据P是△ABC边AB上的相似点可证得△CBP∽△ABC,再根据相似三角形的性质求解即可;
(2)①在距离A点处取点P,作PQ⊥CD,垂足为Q;
②答案不唯一,合理即可.
(1)①在∠ABC内,作∠CBD=∠A,
在∠ACB内,作∠BCE=∠ABC,BD交CE于点P,
则P为△ABC的自相似点;
②不是,如正三角形.
③直角三角形.
④∵在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,
∴∠B=∠ACB=72°.
∵P是△ABC边AB上的相似点.
∴△CBP∽△ABC.
∴∠BCP=∠A=36°,且
∴∠ACP=36°=∠A,∠B=∠BPC.
∴AP=CP=BC.
设BP=x,AP=CP=BC=y,有
化简,得x2+xy-y2=0.
舍去负根,得,即=
(2)①在距离A点处取点P,作PQ⊥CD,垂足为Q;
②辩证思考
问题:是不是所有的矩形都存在它的边上的相似线?如果是,请说明理由;如果不是,请找出一个不存在边上相似线的矩形.
解答:不是,如正方形.
特例分析
答案不唯一,以下答案供参考:
i)问题:已知PQ为矩形ABCD的边AB、CD上的相似线,且矩形PQCB∽矩形ABCD,a、b之间有何数量关系?
解答:a=2b.
ii)问题:已知PQ为矩形ABCD的边AB、CD上的相似线,且P 是AB的中点,a、b之间有何数量关系?
解答:a=2b.
iii)问题:已知PQ为矩形ABCD的边AB、CD上的相似线,当a=2,b=1时,求AP.
解答:AP=12. 
iv)问题:已知矩形ABCD为黄金矩形(即),PQ为矩形ABCD的边AB、CD上的相似线,求
解答:
点评:此类问题是初中数学的重点和难点,在中考中极为常见,一般以压轴题形式出现,难度较大.
核心考点
试题【(1)如图①,P为△ABC的边AB上一点(P不与点A、点B重合),连接PC,如果△CBP∽△ABC,那么就称P为△ABC的边AB上的相似点.画法初探①如图②,在】;主要考察你对相似图形等知识点的理解。[详细]
举一反三
如图,已知AB=3,BC=7,CD=.且AB⊥BC,∠BCD=135°。点M是线段BC上的一个动点,连接AM、DM。
①点M在运动过程中,当AM+DM的值最小时,BM=        
②当 AM2+DM2的值最小时,BM=        
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如图,在矩形中,,点在边  上的,过点,交边于点,再把沿对折,点的对应点恰好落在边上,则CP=       .
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如图,D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点,连接DE,要使△ADE∽△ACB,还需添加一个条件                      (只需写一个).
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已知:把按如图(1)摆放(点与点重合),点)、在同一条直线上..如图(2),从图(1)的位置出发,以的速度沿匀速移动,在移动的同时,点的顶点出发,以2 cm/s的速度沿向点匀速移动.当的顶点移动到边上时,停止移动,点也随之停止移动.相交于点,连接,设移动时间为

(1)当为何值时,点在线段的垂直平分线上?
(2)连接,设四边形的面积为,求之间的函数关系式;是否存在某一时刻,使面积最小?若存在,求出的最小值;若不存在,说明理由.
(3)是否存在某一时刻,使三点在同一条直线上?若存在,求出此时的值;若不存在,说明理由.(图(3)供同学们做题使用)
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如图1,已知Rt△ABC中,,AC=8cm,BC=6cm.点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动,同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动,它们的速度均为2cm/s.以AQ、PQ为边作平行四边形AQPD,连接DQ,交AB于点E.设运动的时间为t(单位:s)(0≤t≤4).解答下列问题:

(1)用含有t的代数式表示AE=_____________;
(2)当t为何值时,DQ=AP;
(3)如图2,当t为何值时,平行四边形AQPD为菱形;
(4)直接写出:当DQ的长最小时,t的值.
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