题目

题型：山东省中考真题难度：来源：

如图，在锐角三角形ABC中，BC=12，△ABC的面积为48，D，E分别是边AB，AC上的两个动点（D不与A，B重合），且保持DE∥BC，以DE为边，在点A的异侧作正方形DEFG。
（1）当正方形DEFG的边GF在BC上时，求正方形DEFG的边长；
（2）设DE=x，△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为y，试求y关于x的函数关系式，写出x的取值范围，并求出y的最大值。

答案

解：（1）当正方形DEFG的边GF在BC上时，如图（1），过点A作BC边上的高AM，交DE于N，垂足为M
∵S_△ABC=48，BC=12，
∴AM=8
∵DE∥BC，△ADE∽△ABC
∴
而AN=AM-MN=AM-DE
∴
解之得
∴当正方形DEFG的边GF在BC上时，正方形DEFG的边长为4.8。（2）分两种情况：
①当正方形DEFG在△ABC的内部时，如图（2），
△ABC 与正方形DEFG重叠部分的面积为正方形DEFG的面积，
∵DE=x，
∴，此时x的范围是0＜x≤4.8。②当正方形DEFG的一部分在△ABC的外部时，如图（3），
设DG与BC交于点Q，EF与BC交于点P，
△ABC的高AM交DE于N，
∵DE=x，DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC
即
而AN=AM-MN=AM-EP
∴
解得
所以
即
由题意，x>4.8，x＜12，
所以
因此△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为
当0＜x≤4.8时，△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积的最大值为4.8²=23.04
当时，因为
所以当时
△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积的最大值为
因为24>23.04，
所以△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积的最大值为24。