题目
题型:不详难度:来源:
(1)求m的值及该抛物线的函数关系式;
(2)将直角梯形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图12.1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动,同时一动点P也以相同的速度从点A出发向点B匀速移动,设它们运动的时间为t秒(0≤t≤3),直线AB与该抛物线的交点为N(如图12.2所示).
①当t为何值时,△PNC是以PN为底边的等腰三角形;
②设以P、N、C、D为顶点的多边形面积为S,试问S是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由.
答案
∴ 顶点M的坐标为(2,4), ………………(1分)
故可设其关系式为y=a(x-2)2+4.
又抛物线经过O(0,0),于是得a(0-2)2+4=0,解得 a=-1. ………(3分)
∴ 所求函数关系式为y=-(x-2)2+4,即y=-x2+4x. ………(4分)
(2)① ∵ 点A在x轴的正半轴上,且N在抛物线上,CB⊥PN,
∴ OA=AP=t,
∴ 点P,B,N的坐标分别为(t,t),(t,3),(t, -t2+4t).
∴ BP=3-t,AN= -t2+4t(0≤t≤3).
∴ PN=AN-AP=(-t2+4t)-t=-t2+3t=t(3-t)≥0. ………(6分)
要使得△PNC是以PN为底边的等腰三角形,
只需PN=2BP,即-t2+3t=2(3-t),
整理,得t2-5t+6=0,解得 t1=2,t2=3.
当t=3时,P,N两点重合,不符合题意,舍去.
∴ 当t=2时,△PNC是以PN为底边的等腰三角形. ………(8分)
② S存在最大值. ………(9分)
(ⅰ)当PN=0,即t=0或t=3时,以点P,N,C,D为顶点的多边形是三角形.
若t=0,则S=AD·AB=·3·2=3.
若t=3,则S=BC·AB=·1·3=.
(ⅱ)当PN≠0,即0<t<3时,以点P,N,C,D为顶点的多边形是四边形.
连结PD,CN,则
S=S四边形ANCD-S△ADP= S梯形ABCD+S△BCN -S△ADP
=(BC+AD)·AB+BN·BC-AP·AD
=(1+2)·3+(-t2+4t- 3)·1-t·2
=-t2+t+ 3=-(t-1)2+.
由-<0,0<t<3,当t=1时,S最大=.
综上所述,当t=1时,以点P,N,C,D为顶点的多边形面积有最大值,
这个最大值为. ………………(13分)
解析
核心考点
试题【(满分13分)如图12.1,已知抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E(4,0),顶点M的坐标为 (m,4),直角梯形ABCD的顶点A与点O重合,AD、AB分别在】;主要考察你对二次函数定义等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求这条抛物线所对应的函数关系式;
(2)在抛物线的对称轴x=1上求一点M,使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小,并求出此时点M的坐标;
(3)设点P为抛物线的对称轴x=1上的一动点,求使∠PCB=90°的点P的坐标.
A.(2,-11) | B.(-2,7) | C.(2,11) | D.(2,-3) |
A.左移3个单位 | B.右移3个单位 | C.左移6个单位 | D.右移6个单位 |
经过A(3,0),二次函数图象对称轴为x=l,给出四个结论:
①b2>4ac ②bc<0 ③2a+b=0 ④a+b+c=0.
其中正确的是
A.②④ | B.①③ |
C.②③ | D.①④ |
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