题目

题型：不详难度：来源：

已知：如图，⊥，∥，，．点在线段上，联结，过点作的垂线，与相交于点．设线段的长为．
（1）当时，求线段的长；
（2）设△的面积为，求关于的函数解析式，并写出函数的定义域；
（3）当△∽△时，求线段的长．

答案

（1）（2），0 < x ≤ 3（3）4或

解析

（1）过点作⊥，交的延长线于点．
∵，，PD⊥CD，AD // BC，
∴∠ =∠ =∠ = 90°，
．
∵ // ，
∴．即得 ．
又∵，
，
∴．
又由，得  △∽△．
∴．
于是，由，得 ．                                （2分）
在△和△中，
得 ，．                                              （1分）
于是，在△中，得 ．            （1分）
（2）在Rt△中，由 ，，
得．                                                          （1分）
∵△∽△，
∴．
∴．                                                  （1分）
在△中，．
∴所求函数解析式为．                                           （2分）
函数的定义域为 0 < x ≤ 3．                                                 （1分）
（3）当△∽△时，即得△∽△∽△．                  （1分）
根据题意，当△∽△时，有下列两种情况：
（ⅰ）当点与点不重合时，可知 ．
由△∽∽△，得．即得．
由△∽△，得．
∴．即得．
∴．
易证得四边形是矩形，
∴．                                                  （2分）
（ⅱ）当点与点重合时，可知 ．
在Rt△中，由，，得．
由△∽△，得．
即得．
解得．                                                     （2分）
∴△∽△时，线段的长分别为4或．
（1）过点作⊥，交的延长线于点,证出△∽△，从而得出DE的长，然后根据勾股定理得出PD与DC的长，再根据勾股定理得出PC的长；
（2）先求出PD的长，然后根据△∽△，算出CD的长，再利用三角形面积公式得出它的解析式；
（3）分点P与点B重合不重合两种情况进行讨论。