题目

题型：不详难度：来源：

二次函数的图像的顶点为，与轴交于点，以为边在第二象限内作等边三角形．

（1）求直线的表达式和点的坐标；
（2）点在第二象限，且△的面积等于△的面积，求点的坐标；
（3）以轴上的点为圆心，1为半径的圆，与以点为圆心，的长为半径的圆相切，直接写出点的坐标．

答案

（1），（2）（3），，，

解析

解：（1）二次函数的图像的顶点，与轴的交点， （2分）
设直线的表达式为，
可求得，．所以直线的表达式为．            （1分）
可得，∵，
∴．                                                      （1分）
在Rt△中，由勾股定理得：．
∴．点．                                           （1分）
解：（2）∵点、都在第二象限，且△的面积等于△的面积，
∴∥．                                                        （1分）
设直线的表达式为，点在直线上，
可得 ．
∴直线的表达式为．                                    （1分）
可得点的坐标：．                                          （1分）
解：（3）点的坐标，，，．
（1）已知抛物线的解析式，其顶点以及函数图象与y轴交点坐标易求得．在求点C的坐标时，要把握住Rt△AOB的特殊性（含30°角），显然，若△ABC是等边三角形，那么AC与x轴垂直，无论通过勾股定理求边长还是根据B点在AC的中垂线上，都能比较容易的求出点C的坐标．
（2）“M点在第二象限内”确定了点M的大致范围，若“△ABM的面积等于△ABC的面积”，以AB为底边进行分析，那么点C、点M到直线AB的距离是相同的，即CM∥AB，直线AB的解析式易求，两直线平行则斜率相同，再代入点C的坐标就能通过待定系数法求出直线CM的解析式，然后代入点M的纵坐标即可得出结论．
（3）首先求出⊙C的半径，即CM的长．若⊙C与⊙N相切，就要分两种情况来考虑：①外切，CN长等于两圆的半径和；②内切，CN长等于两圆的半径差．
在明确CN长的情况下，在Rt△CAN中，通过勾股定理求出AN的长，进一步即可确定点N的坐标．