题目

题型：德庆县一模难度：来源：

如果方程x²+px+q=0（p²-4q≥0）的两个根是x₁，x₂，
（1）求证：x₁+x₂=-p，x₁•x₂=q；
（2）已知关于x的方程x²+mx+n=0，（n≠0）求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数；
（3）已知a，b满足a²-15a-5=0，b²-15b-5=0，求

a

b

+

b

a

的值．

答案

（1）证法1：∵x²+px+q=0，
∴x1=

p2-4q -p

2

，x2=

- p2-4q -p

2

．
∴x1+x2=

p2-4q -p

2

+

- p2-4q -p

2

=-p，
∴x1x2=

p2-4q -p

2

×

- p2-4q -p

2

=q．
证法2：∵x²+px+q=0的两根为x₁，x₂．
∴(x-x1)(x-x2)=x2+px+q，
即x2-(x1+x2)x+x1x2=x2+px+q．
∴x₁+x₂=-p，x₁x₂=q．

（2）设关于x的方程x²+mx+n=0的两根为x₁、x₂，则有：x₁+x₂=-m，x₁•x₂=n，且由已知所求方程的两根为

1

x1

、

1

x2

．
∴

1

x1

+

1

x2

=

x1+x2

x1•x2

=

-m

n

．

1

x1

•

1

x2

=

1

x1•x2

=

1

n

，
∴所求方程为x²-

-m

n

x+

1

n

=0，即nx²+mx+1=0（n≠0）；

（3）∵a，b满足a²-15a-5=0，b²-15b-5=0，
∴a，b是方程x²-15x-5=0的两根．
∴a+b=15，ab=-5，
∴

a

b

+

b

a

=

(a+b)2-2ab

ab

=

(a+b)2

ab

-2=

152

-5

-2=-47．