题目

题型：不详难度：来源：

如图是半径为R=0.5m的光滑圆弧形轨道，直径AC水平，直径CD竖直．今有质量为m=1kg的小球a从A处以初速度v₀=3

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m/s沿圆弧运动，与静止在圆弧底端B处直径相同的小球b发生碰撞．则（g=10m/s²）
（1）小球a在A处对轨道的压力多大？（结果保留两位有效数字）
（2）若小球b质量也为m，且a、b发生弹性碰撞，则碰后小球b的速度多大？
（3）若小球b质量为km（k＞0），且a、b碰后粘在一起，欲使ab不脱离轨道求k的取值范围．

答案

（1）设小球a在A点受到的支持力为F_N，则
   F_N=m

v 20

R

代入数据解得F_N=108N
由牛顿第三定律可知小球a对轨道的压力等于F_N即108N．
（2）小球a由A到B过程中机械能守恒，设小球a到达B点的速度为v，则
  mgR=

1

2

mv2-

1

2

m

v

20

代入数据可解得 v=8m/s
碰撞过程a、b组成的系统动量守恒、机械能守恒，设碰后a、b球速度分别为v_a、v_b 则
  mv=mv_a+mv_b
 

1

2

mv2=

1

2

m

v

2a

+

1

2

m

v

2b

由以上三式可解得  v_a=0，v_b=v； v_a=v，v_b=0（不合舍去）
故碰后b球速度为v_b=8m/s
（3）设碰后ab的速度为v_ab，到达D点的速度为V，则
   mv=（km+m）V   

1

2

(km+m)

v

2ab

≤（km+m）gR   
或

1

2

(km+m)

v

2ab

=

1

2

(km+m)V2+（km+m）•2R  ③
（km+m）

V2

R

≥（km+m）g   ④
由①②解得k≥

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-1
由①③④解得k≤0.6
故欲使ab不脱离轨道须k≥

32 5

-1或k≤0.6
答：（1）小球a在A处对轨道的压力是108N．
（2）若小球b质量也为m，且a、b发生弹性碰撞，则碰后小球b的速度是8m/s．
（3）若小球b质量为km（k＞0），且a、b碰后粘在一起，欲使ab不脱离轨道求k的取值范围是k≥

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-1或k≤0.6．