题目

题型：高考真题难度：来源：

已知数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=（-1）（a_n+2），n=1，2，3，…
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}中，b₁=2，b_n+1=，n=1，2，3，…，证明：＜b_n≤a_4n-3，n=1，2，3，…

答案

解：（Ⅰ）由题设：

，
，
所以，数列是首项为，公比为的等比数列，
，
即a_n的通项公式为，n=1，2，3，…；
（Ⅱ）用数学归纳法证明．
（ⅰ）当n=1时，因，所以，结论成立；
（ⅱ）假设当n=k时，结论成立，即，也即，
当n=k+1时，
，
又，
所以
，
也就是说，当n=k+1时，结论成立；
根据（ⅰ）和（ⅱ）知，n=1，2，3，…。