求证：（1+x）n+（1-x）n＜2n，其中|x|＜1，n≥2，n∈N． - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

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求证：（1+x）ⁿ+（1-x）ⁿ＜2ⁿ，其中|x|＜1，n≥2，n∈N．

答案

证明：由于|x|＜1，n≥2，n∈N．
当n=2时，（1+x）²+（1-x）²=2+2x²＜4=2²，当n=2时成立
假设n=k时成立，即（1+x）^k+（1-x）^k＜2^k成立
当n=k+1时，则：（1+x）^k+1+（1-x）^k+1=（1+x）^k×（1+x）+（1-x）^k×（1-x）=（1+x）^k+x（1+x）^k+（1-x）^k-x（1-x）^k＜2^k+x[（1+x）^k-（1-x）^k]
=2^k+x（2C_k¹x+2C_k³x³+…）=2^k+（2C_k¹+2C_k³+…）=2^k+2^k=2^k+1，
故当n=k+1时，不等式也成立
综上知：（1+x）ⁿ+（1-x）ⁿ＜2ⁿ，其中|x|＜1，n≥2，n∈N成立

核心考点

试题【求证：（1+x）n+（1-x）n＜2n，其中|x|＜1，n≥2，n∈N．】；主要考察你对不等式等知识点的理解。[详细]

举一反三

已知数列{a_n}满足a1=a，an+1=

2-an

．
（Ⅰ）依次计算a₂，a₃，a₄，a₅；
（Ⅱ）猜想a_n的表达式，并用数学归纳法进行证明．

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用数学归纳法证明：对于大于1的任意自然数n，都有

…

＜2-

成立．

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已知数列{x_n}中，x1=1，xn+1=1+

p+xn

(n∈N*，p是正常数)．
（Ⅰ）当p=2时，用数学归纳法证明xn＜

(n∈N*)
（Ⅱ）是否存在正整数M，使得对于任意正整数n，都有x_M≥x_n．

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已知函数f（x）=x-sinx，数列{a_n}满足：0＜a₁＜1，a_n+1=f（a_n），n=1，2，3，…．
证明：（I）0＜a_n+1＜a_n＜1；
（II）an+1＜

an3．

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是否存在常数a、b、c使等式1•（n²-1²）+2（n²-2²）+…+n（n²-n²）=an⁴+bn²+c对一切正整数n成立？证明你的结论．

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