题目

题型：不详难度：来源：

是否存在常数a、b、c使等式1•（n²-1²）+2（n²-2²）+…+n（n²-n²）=an⁴+bn²+c对一切正整数n成立？证明你的结论．

答案

分别用n=1，2，3代入解方程组

a+b+c=0 16a+4b+c=3 81a+9b+c=18

⇒

a= 1 4 b=- 1 4 c=0.

下面用数学归纳法证明．
（1）当n=1时，由上可知等式成立；
（2）假设当n=k时，等式成立，
则当n=k+1时，左边=1•[（k+1）²-1²]+2[（k+1）²-2²]+…+k[（k+1）²-k²]+（k+1）[（k+1）²-（k+1）²]
=1•（k²-1²）+2（k²-2²）++k（k²-k²）+1•（2k+1）+2（2k+1）+…+k（2k+1）
=

1

4

k⁴+（-

1

4

）k²+（2k+1）+2（2k+1）++k（2k+1）
=

1

4

（k+1）⁴-

1

4

（k+1）²．
∴当n=k+1时，等式成立．
由（1）（2）得等式对一切的n∈N*均成立．