题目
题型:湖南难度:来源:
证明:(I)0<an+1<an<1;
(II)an+1<
1 |
6 |
答案
(i)当n=1时,由已知显然结论成立.
(ii)假设当n=k时结论成立,即0<ak<1.
因为0<x<1时f′(x)=1-cosx>0,
所以f(x)在(0,1)上是增函数.又f(x)在[0,1]上连续,
从而f(0)<f(ak)<f(1),即0<ak+1<1-sin1<1.
故n=k+1时,结论成立.
由( i)、(ii)可知,0<an<1对一切正整数都成立.
又因为0<an<1时,an+1-an=an-sinan-an=-sinan<0,
所以an+1<an,
综上所述0<an+1<an<1.
(II)设函数g(x)=sinx-x+
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6 |
当0<x<1时,sinx<x,
从而g′(x)=cosx-1+
x2 |
2 |
x |
2 |
x2 |
2 |
x |
2 |
x2 |
2 |
所以g(x)在(0,1)上是增函数.
又g(x)在[0,1]上连续,且g(0)=0,
所以当0<x<1时,g(x)>0成立.
于是g(an)>0,即sinan-an+
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6 |
故an+1<
1 |
6 |
核心考点
试题【已知函数f(x)=x-sinx,数列{an}满足:0<a1<1,an+1=f(an),n=1,2,3,….证明:(I)0<an+1<an<1;(II)an+1<】;主要考察你对不等式等知识点的理解。[详细]
举一反三
5 |
2 |
(1)求证:an+1+an-1<
5 |
2 |
(2)设bn=an+1-2an,n=0,1,2,….求证:bn<(-6)(
1 |
2 |
(3)是否存在常数A和B,同时满足①当n=0及n=1时,有an=
A•4n+B |
2n |
A•4n+B |
2n |
(1)猜想出数列|an|的通项公式并用数学归纳法证明之;
(2)求证:an+1>an,(n∈N+).
n |
n-1 |
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)令bn=
3n-1 |
an |
(3)令cn=
an+1 |
n+1 |
2cn |
(cn-1)2 |
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