题目

题型：不详难度：来源：

已知数列{x_n}中，x1=1，xn+1=1+

xn

p+xn

(n∈N*，p是正常数)．
（Ⅰ）当p=2时，用数学归纳法证明xn＜

2

(n∈N*)
（Ⅱ）是否存在正整数M，使得对于任意正整数n，都有x_M≥x_n．

答案

证明：由x₁=1，xn+1=1+

xn

p+xn

知，x_n＞0（n∈N^*），
（Ⅰ）当p=2时，xn+1=1+

xn

2+xn

，
（1）当n=1时，x₁=1＜

2

，命题成立．
（2）假设当n=k时，xk＜

2

，
则当n=k+1时，xk+1=1+

xk

2+xk

=2-

2

2+xk

＜2-

2

2+ 2

=

2

，
即n=k+1时，命题成立．
根据（1）（2），xn＜

2

（n∈N^*）．（4分）
（Ⅱ）用数学归纳法证明，x_n+1＞x_n（n∈N^*）．
（1）当n=1时，x2=1+

x1

p+x1

＞1=x₁，命题成立．
（2）假设当n=k时，x_k+1＞x_k，
∵x_k＞0，p＞0，
∴

p

p+xk+1

＜

p

p+xk

，
则当n=k+1时，xk+1=1+

xk

p+xk

=2-

p

p+xk

＜2-

p

p+xk+1

=xk+2，
即n=k+1时，命题成立．
根据（1）（2），x_n+1＞x_n（n∈N^*）．（8分）
故不存在正整数M，使得对于任意正整数n，都有x_M≥x_n．（10分）