题目
题型:不详难度:来源:
并加以证明.
答案
解析
当n=2时:A2=8,B2=9,有A2<B2;
当n=3时:A3=18,B3=27,有A3<B3.
由上可归纳出当n∈N+时,都有An<Bn.
下面用数学归纳法证明(下面只证n≥2时成立):
(1)当n=2时,由上可知不等式成立.
(2)假设n=k(k∈N+,且k≥1)时不等式成立,即2k2<3k,
则3k+1=3×3k=3k+3k+3k>2k2+2k2+2k2.
由于2k2≥4k (k≥2),2k2>2,
所以3k+1>2k2+2k2+2k2>2k2+4k+2=2(k+1)2,
这表明,当n=k+1时,不等式也成立.
综合(1)、(2)可知,n∈N+,n≥2时,都有An<Bn成立.
综上可知n∈N+时,An<Bn成立.
核心考点
举一反三
(1)求数列{bn}的通项公式bn;
(2)设数列{an}的通项an=loga(其中a>0且a≠1).记Sn是数列{an}的前n项和,试比较Sn与logabn+1的大小,并证明你的结论.
(1)求a2,a3,a4的值;
(2)由(1)猜想{an}的通项公式,并给出证明.
(1)当n=1,2,3时,分别比较f(n)与g(n)的大小(直接给出结论);
(2)由(1)猜想f(n)与g(n)的大小关系,并证明你的结论.
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