题目
题型:不详难度:来源:
(1)如图,若该抛物线过A,B两点,求该抛物线的函数表达式;
(2)平移(1)中的抛物线,使顶点P在直线AC上滑动,且与AC交于另一点Q.
(i)若点M在直线AC下方,且为平移前(1)中的抛物线上的点,当以M、P、Q三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时,求出所有符合条件的点M的坐标;
(ii)取BC的中点N,连接NP,BQ.试探究是否存在最大值?若存在,求出该最大值;若不存在,请说明理由.
答案
∵抛物线过A(0,﹣1),B(4,﹣1)两点,
∴,解得。
∴抛物线的函数表达式为:。
(2)(i)∵A(0,﹣1),C(4,3),∴直线AC的解析式为:y=x﹣1。
设平移前抛物线的顶点为P0,则由(1)可得P0的坐标为(2,1),且P0在直线AC上。
∵点P在直线AC上滑动,∴可设P的坐标为(m,m﹣1)。
则平移后抛物线的函数表达式为:。
解方程组:,解得,。
∴P(m,m﹣1),Q(m﹣2,m﹣3)。
过点P作PE∥x轴,过点Q作QE∥y轴,则
PE=m﹣(m﹣2)=2,QE=(m﹣1)﹣(m﹣3)=2,
∴PQ==AP0。
若△MPQ为等腰直角三角形,则可分为以下两种情况:
①当PQ为直角边时:点M到PQ的距离为(即为PQ的长),
由A(0,﹣1),B(4,﹣1),P0(2,1)可知,
△ABP0为等腰直角三角形,且BP0⊥AC,BP0=。
如答图1,过点B作直线l1∥AC,交抛物线于点M,则M为符合条件的点。
∴可设直线l1的解析式为:y=x+b1。
∵B(4,﹣1),∴﹣1=4+b1,解得b1=﹣5。∴直线l1的解析式为:y=x﹣5。
解方程组,得:,。
∴M1(4,﹣1),M2(﹣2,﹣7)。
②当PQ为斜边时:MP=MQ=2,可求得点M到PQ的距离为.
如答图1,取AB的中点F,则点F的坐标为(2,﹣1)。
由A(0,﹣1),F(2,﹣1),P0(2,1)可知:
△AFP0为等腰直角三角形,且点F到直线AC的距离为。
过点F作直线l2∥AC,交抛物线于点M,则M为符合条件的点。
∴可设直线l2的解析式为:y=x+b2,
∵F(2,﹣1),∴﹣1=2+b2,解得b1=﹣3。∴直线l2的解析式为:y=x﹣3。
解方程组,得:,。
∴M3(,),M4(,)。
综上所述,所有符合条件的点M的坐标为:
M1(4,﹣1),M2(﹣2,﹣7),M3(,),M4(,)。
(ii)存在最大值。理由如下:
由(i)知PQ=为定值,则当NP+BQ取最小值时,有最大值。
如答图2,取点B关于AC的对称点B′,易得点B′的坐标为(0,3),BQ=B′Q。
连接QF,FN,QB′,易得FN∥PQ,且FN=PQ,
∴四边形PQFN为平行四边形。
∴NP=FQ。
∴NP+BQ=FQ+B′P≥FB′。
∴当B′、Q、F三点共线时,NP+BQ最小,最小值为。
∴的最大值为。
解析
(2)(i)首先求出直线AC的解析式和线段PQ的长度,作为后续计算的基础。
若△MPQ为等腰直角三角形,则可分为以下两种情况:
①当PQ为直角边时:点M到PQ的距离为.此时,将直线AC向右平移4个单位后所得直线(y=x﹣5)与抛物线的交点,即为所求之M点。
②当PQ为斜边时:点M到PQ的距离为.此时,将直线AC向右平移2个单位后所得直线(y=x﹣3)与抛物线的交点,即为所求之M点.
(ii)由(i)可知,PQ=为定值,因此当NP+BQ取最小值时,有最大值。如答图2所示,作点B关于直线AC的对称点B′,由解析可知,当B′、Q、F(AB中点)三点共线时,NP+BQ最小,最小值为线段B′F的长度。
核心考点
试题【在平面直角坐标系中,已知抛物线(b,c为常数)的顶点为P,等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为(0,﹣1),C的坐标为(4,3),直角顶点B在第四象限.(1)如】;主要考察你对二次函数定义等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求抛物线C的解析式;
(2)将抛物线C绕原点O旋转1800得到抛物线,抛物线与x轴的另一交点为A,B为抛物线上横坐标为2的点。
①若P为线段AB上一动点,PD⊥y轴于点D,求△APD面积的最大值;
②过线段OA上的两点E、F分别作x轴的垂线,交折线O-B-A于E1、F1,再分别以线段EE1、FF1为边作如图2所示的等边△AE1E2、等边△AF1F2,点E以每秒1个长度单位的速度从点O向点A运动,点F以每秒1个长度单位的速度从点A向点O运动,当△AE1E2有一边与△AF1F2的某一边在同一直线上时,求时间t的值。
材料:将二次函数的图象向左平移1个单位,再向下平移2个单位,求平移后的抛物线的解析式(平移后抛物线的形状不变)。
解:在抛物线上任取两点A(0,3)、B(1,4),由题意知:点A向左平移1个单位得到(,3),再向下平移2个单位得到(,1);点B向左平移1个单位得到(0,4),再向下平移2个单位得到(0,2)。
设平移后的抛物线的解析式为。
则点(,1),(0,2)在抛物线上。
可得:,解得:。
所以平移后的抛物线的解析式为:。
根据以上信息解答下列问题:
将直线向右平移3个单位,再向上平移1个单位,求平移后的直线的解析式。
(1)求抛物线的解析式;
(2)抛物线的对称轴l在边OA(不包括O、A两点)上平行移动,分别交x轴于点E,交CD于点F,交AC于点M,交抛物线于点P,若点M的横坐标为m,请用含m的代数式表示PM的长;
(3)在(2)的条件下,连结PC,则在CD上方的抛物线部分是否存在这样的点P,使得以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似?若存在,求出此时m的值,并直接判断△PCM的形状;若不存在,请说明理由。
A.抛物线开口向上 |
B.抛物线的对称轴是x=1 |
C.当x=1时,y的最大值为﹣4 |
D.抛物线与x轴的交点为(-1,0),(3,0) |
(1)求△ABC的面积;
(2)设AD=x,图形L的面积为y,求y关于x的函数解析式;
(3)已知图形L的顶点均在⊙O上,当图形L的面积最大时,求⊙O的面积.
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