题目

题型：天津高考真题难度：来源：

已知数列{a_n}与{b_n}满足，n∈N*，且a₁=2，
（Ⅰ）求a₂，a₃的值；
（Ⅱ）设c_n=a_2n+1-a_2n-1，n∈N*，证明{c_n}是等比数列；
（Ⅲ）设S_n为{a_n}的前n项和，证明：。

答案

（Ⅰ）解：由，可得，
又，
当n=1时，，由a₁=2，可得，
当n=2时，，可得。
（Ⅱ）证明：对任意n∈N*，
， ①
，    ②
②-①，得，即，
于是，
所以{c_n}是等比数列。
（Ⅲ）证明：a₁=2，由（Ⅱ）知，当k∈N*且k≥2时，

，
故对任意，
由①得，
所以，
因此，
于是，
故，
所以，对任意的n∈N*，



，
∴。