题目

题型：北京高考真题难度：来源：

已知集合S_n={X|X=（x₁，x₂，…，x_n），x_i∈{0，1} ，i=1，2，…，n}（n≥2）。对于A=（a₁，a₂，…，a_n），B=（b₁，b₂，…，b_n）∈S_n，定义A与B的差为A-B=（|a₁-b₁|，|a₂-b₂|，…，|a_n-b_n|）；A与B之间的距离为d（A，B）=。
（1）证明：A，B，C∈S_n，有A-B∈S_n，且d（A-C，B-C）=d（A，B）；
（2）证明：A，B，C∈S_n，d（A，B），d（A，C），d（B，C）三个数中至少有一个是偶数；
（3）设PS_n，P中有m（m≥2）个元素，记P中所有两元素间距离的平均值为（P），证明：。

答案

解：（1）设，，C=
因为
所以
从而
又
由题意知∈{0，1}（i=1，2，…n）
当c_i=0时，
当c_i=1时，
所以；
（2）设
d（A，B）=k，d（A，C）=l，d（B，C）=h，
记O=（0，0，…，0）∈S_n，由（1）知



所以（i=1，2，…，n）中1的个数为k
（i=1，2，…，n）中1的个数为l
设t是使成立的i的个数，则h=l+k-2t，由此可知，k，l，h三个数不可能都是奇数，即d（A，B），d（A，C），d（B，C）三个数中至少有一个是偶数；
（3），其中表示P中所有两个元素间距离的总和
设P中所有元素的第i个位置的数字中共有t_i个1，m-t_i个0
则
由于
所以
从而。