题目
题型:四川省期末题难度:来源:
(1)求函数f(x)的最小值;
(2)设F(x)=ax2+f"(x)(a∈R),讨论函数F(x)的单调性;
(3)斜率为k的直线与曲线y=f"(x)交于A(x1,y1)、B(x2,y2)(x1<x2)两点,求证:.
答案
(1)解:f"(x)=lnx+1(x>0),令f"(x)=0,得.(2分)
∵当时,f"(x)<0;当时,f"(x)>0,
∴当时,.
(2)F(x)=ax2+lnx+1(x>0),.
①当a≥0时,恒有F"(x)>0,F(x)在(0,+∞)上是增函数;
②当a<0时,令F"(x)>0,得2ax2+1>0,解得;
令F"(x)<0,得2ax2+1<0,解得.
综上,当a≥0时,F(x)在(0,+∞)上是增函数;当a<0时,F(x)在上单调递增,在上单调递减.
(3)证:.
要证,即证,
等价于证,
令,
则只要证,由t>1知lnt>0,故等价于证lnt<t﹣1<tlnt(t>1)(*).
①设g(t)=t﹣1﹣lnt(t≥1),则,
故g(t)在[1,+∞)上是增函数,
∴当t>1时,g(t)=t﹣1﹣lnt>g(1)=0,即t﹣1>lnt(t>1).
②设h(t)=tlnt﹣(t﹣1)(t≥1),则h"(t)=lnt≥0(t≥1),
故h(t)在[1,+∞)上是增函数,
∴当t>1时,h(t)=tlnt﹣(t﹣1)>h(1)=0,即t﹣1<tlnt(t>1).
由①②知(*)成立,得证.
核心考点
试题【设函数f(x)=xlnx(x>0).(1)求函数f(x)的最小值;(2)设F(x)=ax2+f"(x)(a∈R),讨论函数F(x)的单调性;(3)斜率为k的直线】;主要考察你对不等式等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)若,求证:数列是等比数列;
(2)在(1)条件下,求证:;
(3)若a=0,试问代数式的值在哪两个相邻的整数之间?并加以证明.
(1)若a=f"(2),b=f"(1),c=f"(0),求a、b、c的值;
(2)在(1)的条件下,记,
求证:F(1)+F(2)+F(3)+…+F(n)<N*);
(3)设关于x的方程f"(x)=0的两个实数根为α、β,且1<α<β<2.
试问:是否存在正整数n0,使得?说明理由.
(Ⅰ)求数列 {} 的通项公式;
(Ⅱ)求数列 {bn} 的通项公式;
(Ⅲ)证明:对于 n∈N*,.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)设x>0,求证:f(x+1)>e 2x﹣1;
(3)设n∈N*,求证:ln(1×2+1)+ln(2×3+1)+…+ln[n(n+1)+1]>2n﹣3.
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