题目

题型：江西省同步题难度：来源：

已知数列{}的前n项和为 =（n∈N*），且a₁=2．数列{b_n}满足b₁=0，b₂=2，=，n=2，3，…．
（Ⅰ）求数列 {} 的通项公式；
（Ⅱ）求数列 {b_n} 的通项公式；
（Ⅲ）证明：对于 n∈N*，．

答案

（Ⅰ）解：∵=，
∴2=（n+1）①，
∴2₊₁=（n+2）₊₁②，
∴①﹣②可得2₊₁=（n+2）₊₁﹣（n+1），
∴
当n≥2时，
∵a₁=2
∴数列 {} 的通项公式为=2n；
（Ⅱ）解：∵b₁=0，b₂=2，=，n≥2，
∴n≥3时，
b₁=0，b₂=2满足上式，
∴数列 {b_n} 的通项公式为；
（Ⅲ）证明：
当k≥2时，
∴
∵b₁=0，
∴==2^n﹣1﹣1
∴对于n∈N*，