题目

题型：不详难度：来源：

已知阶矩阵，向量。
（1）求阶矩阵的特征值和特征向量；
（2）计算.

答案

（1）特征值时的一个特征向量为，特征值时的一个特征向量为，（2）

解析

试题分析：（1）根据矩阵A的特征多项式求矩阵特征值，由=0得特征值，当时，代入二元一次方程组解得；∴特征值时的一个特征向量为，当时，代入二元一次方程组解得∴特征值时的一个特征向量为 ，（2）本题可直接求出，再根据矩阵运算法则求出.也可利用特征值和特征向量的性质进行化简.
解（1）矩阵A的特征多项式为
           4分
令解得A的特征值        6分
当时，代入二元一次方程组解得
∴特征值时的一个特征向量为        8分
当时，代入二元一次方程组
解得
∴特征值时的一个特征向量为       10分
（2）由（1）知，
令则         12分
解得         14分
∴
             16分