题目

题型：吉林省模拟题难度：来源：

如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE⊥AC，且DE交AC的延长线于点E，OE交AD于点F．
(Ⅰ)求证：DE是⊙O的切线；
(Ⅱ)若，求的值。

答案

(Ⅰ)证明：连接OD，可得∠ODA=∠OAD=∠DAC，
∴OD∥AE，
又AE⊥DE，
∴DE⊥OD，
又OD为半径，
∴DE是⊙O的切线。
(Ⅱ)解：过D作DH⊥AB于H，则有∠DOH=∠CAB，cos∠DOH=cos∠CAB=，
设OD=5x，则AB=10x，OH=3x，DH=4x，
∴AH=8x，AD²=80x²，
由△AED∽△ADB，可得AD²=AE·AB=AE·10x，
∴AE=8x，
又由△AEF∽△DOF，
可得AF：DF=AE：OD=，
∴。