题目

题型：广东省高考真题难度：来源：

A是由定义在[2，4]上且满足如下条件的函数φ（x）组成的集合：
①对任意x∈[1，2]，都有φ（2x）∈（1，2） ；
②存在常数L（0＜L＜1），使得对任意的x₁，x₂∈[1，2]，都有|φ（2x₁）-φ（2x₂）|≤L|x₁-x₂|，
（Ⅰ）设，证明：φ（x）∈A；
（Ⅱ）设φ（x）∈A，如果存在x₀∈（1，2），使得x₀=φ（2x₀），那么这样的x₀是唯一的；
（Ⅲ）设φ（x）∈A，任取x₁∈（1，2），令x_n+1=φ（2x_n），n=1，2，…，证明：给定正整数k，对任意的正整数p，成立不等式。

答案

证明：（Ⅰ）对任意，
，
所以，
对任意的，
，
，
所以，
令，
，
所以。
（Ⅱ）反证法：设存在两个使得，
则由，
所以L≥1，矛盾，故结论成立。
（Ⅲ），
所以，


。