题目

题型：山西省月考题难度：来源：

如图，四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，△PAB和△PAD是两个边长为2的正三角形，DC=4，O为BD的中点，E为PA的中点，
（Ⅰ）求证：PO⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求证：OE∥平面PDC；
（Ⅲ）求直线CB与平面PDC所成角的正弦值。

答案

（Ⅰ）证明：设F为DC的中点，连接BF，
则DF=AB，
∵AB⊥AD，AB=AD，AB∥DC，
∴四边形ABFD为正方形，
∵O为BD的中点，
∴O为AF，BD的交点，
∵PD=PB=2，PO⊥BD，
∵,
∴，
在三角形PAO中，，
∴PO⊥AO，
∵，
∴PO⊥平面ABCD；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知PO⊥平面ABCD，
又AB⊥AD，
所以过O分别做AD，AB的平行线，
以它们作x，y轴，以OP为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
由已知得：，
，，
，
则，
，
∴，
∴，
∵，
∴OE∥平面PDC；
（Ⅲ）解：设平面PDC的法向量为，
直线CB与平面PDC所成角θ，
则，解得，
令，
则平面PDC的一个法向量为，
又，
则，
∴直线CB与平面PDC所成角的正弦值为。