题目

题型：江苏期末题难度：来源：

如图，在三棱锥-P-ABCD中，平面ABC⊥平面APC，AB=BC=AP=PC=，∠ABC=∠APC=90°，
（1）求直线PA与平面PBC所成角的正弦值；
（2）若动点M在底面三角形ABC上，二面角M-PA-C的余弦值为，求BM的最小值。

答案

解：（1）取AC中点O，因为AB=BC，
所以OB⊥OC，
∵平面ABC⊥平面APC，平面ABC∩平面APC=AC，
∴OB⊥平面PAC，
∴OB⊥OP，
以O为坐标原点，OB、OC、OP分别为 x、y、z轴
建立如图
所示空间直角坐标系，
因为AB=BC=PA=，
所以OB=OC=OP=1，
从而O（0，0，0），B（1，0，0），
A（0，-1，0），C（0，1，0），P（0，0，1），
∴，
设平面PBC的法向量，
由得方程组，
取，
∴，
∴直线PA与平面PBC所成角的正弦值为。
（2）由题意平面PAC的法向量，
设平面PAM的法向量为，
∵，
又因为，
∴，
取，
，
∴，
∴n+1=3m或n+1=-3m（舍去），
∴B点到AM的最小值为垂直距离。