题目

题型：北京期末题难度：来源：

如图所示，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CA=CB=2，∠BCA=90°，棱AA₁=4，E、M、N分别是CC₁、A₁B₁、AA₁的中点，
（1）求证：A₁B⊥C₁M；
（2）求BN的长；
（3）求二面角B₁-A₁E-C₁平面角的余弦值。

答案

解：如图建立空间直角坐标系，
（1），
，
，
，
∴，
∴A₁B⊥C₁M。
 （2）依题意得：B（0，2，0），N（2，0，2），
∴。
（3）依题意得：，
，
∴，
，
∴平面，
得，
设平面，
则，
∴y=-z，
，
∴x=-z，
令z=1，
则，
则，
由题意可知：二面角B₁-A₁E-C₁的大小是锐角，
所以二面角B₁-A₁E-C₁的平面角的余弦值是。