题目

题型：北京期末题难度：来源：

如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=2，CD=4，M为CE的中点，
（Ⅰ）求证：BM∥平面ADEF；
（Ⅱ）求证：平面BDE⊥平面BEC；
（Ⅲ）求平面BEC与平面ADEF所成锐二面角的余弦值。

答案

（Ⅰ）证明：取DE中点N，连结MN，AN，
在△EDC中，M，N分别为EC，ED的中点，
所以，
由已知AB∥CD，，
所以MN∥AB，且MN=AB，
所以四边形ABMN为平行四边形，
所以BM∥AN，
又因为，
所以BM∥平面ADEF。
（Ⅱ）证明：在正方形ADEF中，ED⊥AD，
又因为平面ADEF⊥平面ABCD，且平面，
所以ED⊥平面ABCD，所以ED⊥BC，
在直角梯形ABCD中，，
可得，
在△BCD中，，
所以BC⊥BD，
所以BC⊥平面BDE，
又因为
所以平面BDE⊥平面BEC。
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知ED⊥平面ABCD，且AD⊥CD，
以D为原点，DA，DC，DE所在直线为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系，
，
平面ADEF的一个法向量为，
设为平面BEC 的一个法向量，
因为，，
所以，
令x=1，得y=1，z=2，
所以为平面BEC的一个法向量，
设平面BEC与平面ADEF所成锐二面角为θ，
则，
所以平面BEC与平面ADEF所成锐二面角的余弦值为。