题目
题型:辽宁省月考题难度:来源:
已知斜三棱柱ABC-A1B1C1,∠BCA=90°,AC=BC=2,A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D,又BA1⊥AC1,
(1)求证:AC1⊥平面A1BC;
(2)求C1到平面A1AB的距离;
(3)求二面角A-A1B-C的余弦值。
答案
∴平面A1ACC1⊥平面ABC,
∵BC⊥AC且平面A1ACC1∩平面ABC=AC,
∴BC⊥平面A1ACC1,
∴BC⊥AC1,
∵AC1⊥BA1且BC∩BA1=B,
∴AC1⊥平面A1BC。
(2)如图所示,以C为坐标原点建立空间直角坐标系,
∵AC1⊥平面A1BC,
∴AC1⊥A1C,
∴四边形A1ACC1是菱形,
∵D是AC的中点,
∴∠A1AD=60°,
∴A(2,0,0),A1(1,0,),B(0,2,0), C1(-1,0,),
∴=(1,0,),=(-2,2,0),
设平面A1AB的法向量=(x,y,z),
∴,
令z=1,
∴=(,,1),
∵=(2,0,0),
∴,
∴C1到平面A1AB的距离是。
(3)平面A1AB的法向量=(,,1),平面A1BC的法向量=(-3,0,),
∴,
设二面角A-A1B-C的平面角为θ,θ为锐角,
∴,
∴二面角A-A1B-C的余弦值为。
核心考点
试题【已知斜三棱柱ABC-A1B1C1,∠BCA=90°,AC=BC=2,A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D,又BA1⊥AC1,(1)求证:AC1⊥平面A1BC】;主要考察你对向量求夹角等知识点的理解。[详细]
举一反三
(Ⅰ)求证:EF∥平面ACD1;
(Ⅱ)求面EFB和底面ABCD所成角的余弦值大小。
(1) 求证:AO∥平面DEF;
(2) 求证:平面DEF⊥平面BCED;
(3) 求平面DEF与平面ABC相交所成锐角二面角的余弦值。
(1)求证:PA⊥平面CDM;
(2)求二面角D-MC-B的余弦值。
如图,已知矩形ABCD的边AB=2 ,BC=,点E、F分别是边AB、CD的中点,沿AF、EC分别把三角形ADF和三角形EBC折起,使得点D和点B重合,记重合后的位置为点P。
(1)求证:平面PCE⊥平面PCF;
(2)设M、N分别为棱PA、EC的中点,求直线MN与平面PAE所成角的正弦;
(3)求二面角A-PE-C的大小。
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