题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分14分）（注意：在试题卷上作答无效）
已知曲线，从上的点作轴的垂线，交于点，再从点作轴的垂线，交于点，设

（1）求数列的通项公式；
（2）记，数列的前项和为，试比较与的大小；
（3）记，数列的前项和为，试证明：

答案

（1）；
（2），由，，，
当时，
 
；
（3）见解析。

解析

(1)依题意确定点的坐标为，从而可得,
所以可得,所以再采用累加的方法求出通项即可.
(2)先求出,然后先求出S₁,S₂,S₃验证均满足小于,
然后证明当n>3时，,采用了不等式放缩后易证.n>3时，.
（3）先确定,可得,
然后可以利用此不等式进行放缩，这是解决此题的突破口.
（1）依题意点的坐标为，，，
．．．．．．2分
；
．．．．．．4分
（2），由，，，
当时，
 
；．．．．．．8分
（3），所以易证：，
当时，，
，（当时取“”）．．．．．．11分
另一方面，当时，有：


，
又，
，．所以
对任意的，都有．．．．．．．14分