P是平面ABCD外的点，四边形ABCD是平行四边形，AB=（2，-1，-4），AD=（4，2，0），AP=（-1，2，-1）．（1）求证：PA⊥平面ABCD；（ - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：不详难度：来源：

P是平面ABCD外的点，四边形ABCD是平行四边形，

=（2，-1，-4），

=（4，2，0），

=（-1，2，-1）．
（1）求证：PA⊥平面ABCD；
（2）对于向量

=（x₁，y₁z₁），

=(x2y2z2)，

=(x3y3z3)，定义一种运算：(

)•

=x1y2z3+x2y3z1+x3y1z2-x1y3z2-x2z3-x3y2z1，试计算(

的绝对值；说明其与几何体P-ABCD的体积关系，并由此猜想向量这种运算(

的绝对值的几何意义．

答案

（1）

•

=(2，-1，-4)•(-1，2，-1)=-2+(-2)+4=0，∴

⊥

，即AP⊥AB．

•

=(-1，2，-1)•(4，2，0)=-4+4+0=0，即PA⊥AD．
∴PA⊥面ABCD．
（2）|(

)•

|=48，又cos〈

•

＞=

105

，
V=

|•|

|•sin〈

•

＞•|

|=16
猜测：|(

)•

|在几何上可表示以AB，AD，AP为棱的平行六面体的体积（或以AB，AD，AP为棱的四棱柱的体积）．

核心考点

试题【P是平面ABCD外的点，四边形ABCD是平行四边形，AB=（2，-1，-4），AD=（4，2，0），AP=（-1，2，-1）．（1）求证：PA⊥平面ABCD；（】；主要考察你对向量与空间位置关系等知识点的理解。[详细]

举一反三

已知

=（2，-1，3），

=（-1，4，-2），

=（3，2，λ），若

、

三向量共面，则实数λ等于（　　）

A．2

B．3

C．4

D．5

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在如图所示的几何体ABCED中，EC⊥面ABC，DB⊥面ABC，CE=CA=CB=2DB，∠ACB=90°，M为
AD的中点．（1）证明：EM⊥AB；（2）求直线BM和平面ADE所成角的正弦值．

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如图，在空间直角坐标系中，正方体棱长为2，点E是棱AB的中点，点F（0，y，z）是正方体的面AA₁D₁D上点，且CF⊥B₁E，则点F（0，y，z）满足方程（　　）

A．y-z=0

B．2y-z-1=0

C．2y-z-2=0

D．z-1=0

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如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E在棱CD上．
（1）求证：EB₁⊥AD₁；
（2）若E是CD中点，求EB₁与平面AD₁E所成的角；
（3）设M在BB₁上，且

MB1

，是否存在点E，使平面AD₁E⊥平面AME，若存在，指出点E的位置，若不存在，请说明理由．

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△ABC的三个顶点分别是A（1，-1，2），B（5，-6，2），C（1，3，-1），则AC边上的高BD长为______．

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