题目

题型：不详难度：来源：

在如图所示的几何体ABCED中，EC⊥面ABC，DB⊥面ABC，CE=CA=CB=2DB，∠ACB=90°，M为
AD的中点．（1）证明：EM⊥AB；（2）求直线BM和平面ADE所成角的正弦值．

答案

（1）证明：以C为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设DB=1，则 CE=CA=CB=2．
由于A（2，0，0），B（0，2，0），E（0，0，2），D（0，2，1），M（1，1，

1

2

），∴

EM

=（1，1-

3

2

），

AB

=（-2，2，0），∴

EM

•

AB

=-2+2+0=0，∴

EM

⊥

AB

，∴EM⊥AB．
（2）由（1）知

BM

=（1，-1，

1

2

），

AD

=（-2，2，1），

AE

=（-2，0，2），

DE

=（0，-2，1）．
设面ADE的法向量为

n

=（x，y，z），则

n • AE =0 n• DE =0

，即

-2x+2z=0 -2y+z=0

，
取

n

=（2，1，2）设直线BM和平面ADE所成角为θ，则 sinθ=|cos＜

BM

，

n

＞=|

BM • n

| BM |•| n |

|=

4

9

．