题目

题型：不详难度：来源：

如图所示，正四棱锥P—ABCD的各棱长均为13，M，N分别为PA，BD上的点，且PM∶MA=BN∶ND=5∶8.

（1）求证：直线MN∥平面PBC；
（2）求线段MN的长.

答案

（1）证明略（2）7

解析

（1）连接AN并延长交BC于Q，

连接PQ，如图所示.
∵AD∥BQ，∴△AND∽△QNB，
∴===，
又∵==，
∴==，∴MN∥PQ，
又∵PQ平面PBC，MN平面PBC，
∴MN∥平面PBC.
（2）解 在等边△PBC中，∠PBC=60°，
在△PBQ中由余弦定理知
PQ²=PB²+BQ²-2PB·BQcos∠PBQ
=13²+-2×13××=，
∴PQ=，
∵MN∥PQ，MN∶PQ=8∶13，
∴MN=×=7.