题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，
，是线段上的点，是线段上的点，且

（Ⅰ）当时，证明平面；
（Ⅱ）是否存在实数，使异面直线与所成的角为？若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由.

答案

（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）存在实数使异面直线与所成的角为. 

解析

（1）当时，分别是所在边的中点，在矩形中，利用三角形相似证出，由已知得，根据线面垂直的判定定理可证出结论.（2）异面直线与所成的角为，即，在直角三角形中，.设，再求出，，.由余弦定理求得.代入求出的值.
（Ⅰ）当时，则为的中点.
又 ，
∴在与中，，
，，∴.
又∵平面，平面，
∴.
∴平面          ………………………………………………………… （6分）
（Ⅱ）设, 则.连结，则面.
∴.
∵，∴，.
在中，，
设异面直线与所成的角为，则，
∴, ∴.
∴.
解得.
∴存在实数，使异面直线与所成的角为. ……………………………… （12分）
方法二：（坐标法）
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.

（Ⅰ）当时，则为的中点，设, 则，则
，，，,.
,，.
,.
∴平面.     ………………………………………………………………………（6分）
（Ⅱ）设, 则，
∴，，,.
∵,
∴, .
,.

依题意，有，
∵，∴ ∴.
∴存在实数使异面直线与所成的角为.   ……………………………… （12分）