题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分12分）
如图，四棱锥的底面为正方形，侧棱底面，且，分别是线段的中点．

（Ⅰ）求证：//平面；
（Ⅱ）求证：平面；
（Ⅲ）求二面角的大小．

答案

（1）、（2）见解析；（3）

解析

（1）因为分别是线段的中点，所以，由线面平行的判定定理得//平面；（2）由已知易证平面，所以，又，
分别是线段的中点，得，根据线面垂直的判定定理得平面；（3）由二面角的定义知就是所求二面角的平面角，等于.另解：因为四棱锥的底面为正方形，侧棱底面，可建立空间直角坐标系，写出需要的各点坐标.（1）只需证出与共线；（2）只需证与平面内的任意两个不共线向量垂直；（3）需求出平面的法向量和平面的法向量，把二面角转化为两个法向量的夹角，注意角的范围.
建立如图所示的空间直角坐标系，

,
，，，．…………1分
（Ⅰ）证明：
∵，，
∴,
∵平面，且平面，
∴//平面．………………………………4分
（Ⅱ）证明：
，，，
  
，
又，
∴平面． ………………………………………………8分
（Ⅲ）设平面的法向量为,
因为，，
则取 
又因为平面的法向量为
所以 

所以二面角的大小为．…………………………………12分