题目

题型：不详难度：来源：

（本题满分14分）已知正四棱锥的底面边长为，为中点．

（Ⅰ）求证：//平面；
（Ⅱ）若是二面角的平面角，求直线与平面所成角的余弦值．

答案

（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）直线与平面所成角的余弦值为

解析

本题主要考查立体几何线面平行、直线与平面所成的角和二面角，同时考查空间想象能力和推理论证能力.
（1）利用线面平行的判定定理可以证明该结论。
（2）而线面角的求解可以运用三垂线制作出角，然后借助于直角三角形求解得到结论。
（Ⅰ）解：连结与交于点,连结.
又平面,平面.
平面.
（Ⅱ）解：是二面角的平面角,
,
平面，
取中点,连结,交于点,则,
又侧棱长为
平面，
就是直线与平面所成的角.
又则


故直线与平面所成角的余弦值为
（用等体积法或者空间向量等方法同样给分）