题目

题型：不详难度：来源：

如图所示，已知AB为圆O的直径，点D为线段AB上一点，且，点C为圆O上一点，且．点P在圆O所在平面上的正投影为点D，PD=DB．

（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离．

答案

(1)证明见解析;(2) ．

解析

试题分析：（1）先利用平面几何知识与线面垂直的性质证线线垂直，由线线垂直得到线面垂直，再由线面垂直得到线线垂直；（2）点到平面的距离是棱锥D-PCB顶点D到底面的高,求出棱锥的体积和底面三角形PCB的面积,可以求出点到平面的距离．
试题解析：(1)如图,连接，

由3AD=DB知，点D为AO的中点,
又∵AB为圆O的直径，
∴，
由知，，
∴为等边三角形,
故．
∵点在圆所在平面上的正投影为点，
∴平面，
又平面，
∴，
由PDÌ平面PAB，AOÌ平面PAB，且，
得平面.
（2）由（1）可知，，
∴，
又，，，
∴为等腰三角形，则，
设点到平面的距离为，
由得，
，
解得．