定积分与微积分基本定理

　　换元法

　　(1);(2)x=ψ(t)在[α,β]上单值、可导;(3)当α≤t≤β时，a≤ψ(t)≤b,且ψ(α)=a,ψ(β)=b,则

　　分部积分法

　　设u=u(x),v=v(x)均在区间[a,b]上可导，且u′，v′∈R([a,b]),则有分部积分公式

　　一般定理

　　定理1：设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。

    定理2：设f(x)区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积。

    定理3：设f(x)在区间[a,b]上单调，则f(x)在[a,b]上可积。

　　牛顿定理

　　定积分与不定积分看起来风马牛不相及，但是由于一个数学上重要的理论的支撑，使得它们有了本质的密切关系。把一个图形无限细分再累加，这似乎是不可能的事情，但是由于这个理论，可以转化为计算积分。这个重要理论就是大名鼎鼎的牛顿-莱布尼兹公式，它的内容是：如果f(x)是[a,b]上的连续函数，并且有F′(x)=f(x)，那么

用文字表述为：一个定积分式的值，就是原函数在上限的值与原函数在下限的值的差。正因为这个理论，揭示了积分与黎曼积分本质的联系，可见其在微积分学以至更高等的数学上的重要地位，因此，牛顿-莱布尼兹公式也被称作微积分基本定理。