题目
题型:不详难度:来源:
(1)求证:;
(2)若与平面所成的角为,求二面角的余弦值.
答案
解析
试题分析:(1)连接,要证,只需证明面,只需证明, 由已知面面垂直,易证,所以,面,得到,因为,易证,所以面,得,得证面,即证 ;(2)设由(1)法一:知,为等边三角形,设,则,分别为,的中点,也是等边三角形.取的中点,连结,,则,,
所以为二面角的平面角,然后用余弦定理计算.法二:如图建立空间直角坐标系,分别计算两个平面的法向量,利用公式,根据实际图形为钝二面角.
试题解析:如图:
(1)证明:连结,因,是的中点,
故.
又因平面平面,
故平面, 2分
于是.
又,
所以平面,
所以, 4分
又因,
故平面,
所以. 6分
(2)解法一:由(I),得.不妨设,. 7分
因为直线与平面所成的角,
故,
所以,为等边三角形. 9分
设,则,分别为,的中点,也是等边三角形.
取的中点,连结,,则,,
所以为二面角的平面角. 12分
在中,,, 13分
故,
即二面角的余弦值为. 14分
解法二:取的中点,以为原点,,,所在的直线分别为,,轴建立空间直角坐标系.不妨设,,则,,,, 8分
从而,.
设平面的法向量为,
由,得,
可取. 10分
同理,可取平面的一个法向量为
. 12分
于是, 13分
易见二面角的平面角与互补,
所以二面角的余弦值为. 14分
核心考点
举一反三
(1)求证:;
(2)求二面角的正切值.
①若则或;
②若则;
③若不垂直于,则不可能垂直于内的无数条直线;
④若且则;
⑤若且则.
其中正确命题的序号是 .
则下列命题中为真命题的是 (填所有正确答案的序号).
①若则; ②若则;
③若则; ④若则
⑴若点是的中点,求证平面;
⑵若平面平面,求证.
(1) 证明:面面
(2) 求面与面夹角的余弦值.
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