题目
题型:不详难度:来源:
(1)求证:平面PAC⊥平面PBC;
(2)若AB=2,AC=1,PA=1,求二面角CPBA的余弦值..
答案
解析
由PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,得PA⊥BC.
又PA∩AC=A,PA⊂平面PAC,AC⊂平面PAC,
所以BC⊥平面PAC.又BC⊂平面PBC,
所以平面PBC⊥平面PAC.
(2)过C作CM∥AP,则CM⊥平面ABC.
如图,以点C为坐标原点,分别以直线CB,CA,CM为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.
在Rt△ABC中,因为AB=2,AC=1,所以BC=.
因为PA=1,所以A(0,1,0),B(,0,0),P(0,1,1).
故=(,0,0),=(0,1,1).
设平面BCP的法向量为n1=(x1,y1,z1),
则所以
不妨令y1=1,则n1=(0,1,-1).
因为=(0,0,1),=(,-1,0),
设平面ABP的法向量为n2=(x2,y2,z2),
则所以
不妨令x2=1,则n2=(1,,0).
于是cos〈n1,n2〉==.
所以由题意可知二面角CPBA的余弦值为
核心考点
试题【如图,AB是圆的直径,PA垂直圆所在的平面,C是圆上的点. (1)求证:平面PAC⊥平面PBC;(2)若AB=2,AC=1,PA=1,求二面角CPBA的余弦】;主要考察你对向量与空间位置关系等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求证:PC⊥BD;
(2)过直线BD且垂直于直线PC的平面交PC于点E,且三棱锥E-BCD的体积取到最大值.
①求此时四棱锥E-ABCD的高;
②求二面角A-DE-B的正弦值的大小.
①如果α⊥β,那么α内一定存在直线平行于β
②如果α不垂直于β,那么α内一定不存在直线垂直于β
③如果α⊥γ,β⊥γ,α∩β=l,那么l⊥γ
④如果α⊥β,l与α,β都相交,那么l与α,β所成的角互余
(1)求证:DE∥平面PBC;
(2)求证:DE⊥平面PAB.
(1)求证:AB∥平面CDE;
(2)求证:平面ABCD⊥平面ADE.
A.若m∥α,n∥α,则m∥n |
B.若m∥α,m∥β,则α∥β |
C.若m∥n,m⊥α,则n⊥α |
D.若m∥α,α⊥β,则m⊥β |
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