题目
题型:不详难度:来源:
(1)求证:PC⊥BD;
(2)过直线BD且垂直于直线PC的平面交PC于点E,且三棱锥E-BCD的体积取到最大值.
①求此时四棱锥E-ABCD的高;
②求二面角A-DE-B的正弦值的大小.
答案
解析
又AC∩PA=A,所以BD⊥平面PAC.
又PC⊂平面PAC,所以PC⊥BD.
(2)解 ①设PA=x,三棱锥E-BCD的底面积为定值,在△PBC中,易知PB=,PC=,
又BC=1,故△PBC直角三角形.又BE⊥PC,得EC=,可求得该三棱锥的高h==.
当且仅当x=,即x=时,三棱锥E-BCD的体积取到最大值,所以h=.
此时四棱锥E-ABCD的高为.
②以点A为原点,AB,AD,AP所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),P(0,0,),易求得CE=CP.
所以=+=,=(0,1,0).
设平面ADE的法向量n1=(x,y,z),则
即,令x=,则n1=(,0,-3),
同理可得平面BDE的法向量n2==(-1,-1,),所以cos〈n1,n2〉==-.所以sin〈n1,n2〉=.所以二面角A-DE-B的正弦值的大小为.
核心考点
试题【在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为1的正方形,且PA⊥平面ABCD. (1)求证:PC⊥BD;(2)过直线BD且垂直于直线PC的平面交PC于点E,且三】;主要考察你对向量与空间位置关系等知识点的理解。[详细]
举一反三
①如果α⊥β,那么α内一定存在直线平行于β
②如果α不垂直于β,那么α内一定不存在直线垂直于β
③如果α⊥γ,β⊥γ,α∩β=l,那么l⊥γ
④如果α⊥β,l与α,β都相交,那么l与α,β所成的角互余
(1)求证:DE∥平面PBC;
(2)求证:DE⊥平面PAB.
(1)求证:AB∥平面CDE;
(2)求证:平面ABCD⊥平面ADE.
A.若m∥α,n∥α,则m∥n |
B.若m∥α,m∥β,则α∥β |
C.若m∥n,m⊥α,则n⊥α |
D.若m∥α,α⊥β,则m⊥β |
A.若α∥β,m⊂α,n⊂β,则m∥n |
B.若α∩γ=m,β∩γ=n,m∥n,则α∥β |
C.若m⊂β,α⊥β,则m⊥α |
D.若m⊥β,m∥α,则α⊥β |
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