题目
题型:不详难度:来源:
底面,且,、分别为、的中点.
(1)求证:平面;
(2)求证:面平面;
(3)在线段上是否存在点,使得二面角的余弦值为?说明理由.
答案
解析
试题分析:(1)连接经过点,利用中位线得到,再由直线与平面平行的判定定理得到
平面;(2)利用平面与平面垂直的性质定理结合侧面底面得到平面,从而得到,再由勾股定理证明,结合直线与平面垂直的判定定理证明平面,最后利用平面与平面垂直的判定定理得到平面平面;(3)取的中点,连接、,
利用平面与平面垂直的性质定理证明平面,然后以点为坐标原点,、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系,利用空间向量法解决题中二面角问题.
(1)证明:连接,由正方形性质可知,与相交于的中点,
也为中点,为中点.
所以在中,,
又平面,平面,
所以平面;
(2)证明:因为平面平面,平面面
为正方形,,平面,所以平面.
又平面,所以.
又,所以是等腰直角三角形,且,即.
又,且、面,所以面.
又面,所以面面;
(3)取的中点,连接、,因为,所以.
又侧面底面,平面平面,所以平面.
而、分别为、的中点,所以,
又是正方形,故.
以为原点,建立空间直角坐标系,
则有,,,,,
若在上存在点,使得二面角的余弦值为,连接、,
设,
则,,由(2)知平面的法向量为,
设平面的法向量为.则,即,解得,
令,得,
所以,解得(舍去).
所以,线段上存在点,使得二面角的余弦值为.
核心考点
试题【如图,在四棱锥中,底面是边长为的正方形,侧面底面,且,、分别为、的中点.(1)求证:平面; (2)求证:面平面; (3)在线段上是否存在点,使得二面角的余弦】;主要考察你对向量与空间位置关系等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求证:平面AHC平面;(2)点M在直线EF上,且平面,求平面ACH与平面ACM所成锐角的余弦值.
①若,则;②若,则;③若,则;④若,则,其中正确的命题是( )
A.①② | B.②③ | C.③④ | D.①③ |
(1)证明:;
(2)证明:;
(3)假设这是个大容器,有条体积可以忽略不计的小鱼能在容器的任意地方游弋,如果鱼游到四棱锥 内会有被捕的危险,求鱼被捕的概率.
(1)求证:AB1⊥面A1BD;
(2)求二面角A-A1D-B的余弦值;
(3)求点C到平面A1BD的距离.
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