题目

题型：不详难度：来源：

如图所示，在几何体ABCDE中，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，BE和CD都垂直于平面ABC，且BE=AB=2，CD=1，点F是AE的中点.求AB与平面BDF所成角的正弦值.

答案

AB与平面BDF所成角的正弦值为.

解析

以点B为原点，BA、BC、BE所在的直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则

B（0，0，0），A（2，0，0），C（0，2，0），D（0，2，1），E（0，0，2），F（1，0，1）.
∴=（0，2，1），=（1，-2，0）.
设平面BDF的一个法向量为
n=（2，a，b），
∵n⊥，n⊥，
∴
即
解得a=1，b=-2.∴n=（2，1，-2）.
设AB与平面BDF所成的角为，则法向量n与的夹角为-，
∴cos（-）===,
即sin=,故AB与平面BDF所成角的正弦值为.