题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分14分）
如图8，在直角梯形中，，，且．现以为一边向形外作正方形，然后沿边将正方形翻折，使平面与平面互相垂直，如图9．
（1）求证：平面平面；
（2）求平面与平面所成锐二面角的大小．

答案

证明（1）（法一）因为平面平面，
且平面平面，
又在正方形中，，
所以，平面． ………………2分
而平面，
所以，．        ………………3分


在直角梯形中， ,，
，
所以，，
所以，．         ………………4分
又，平面，，
所以，平面．    ………………6分
而平面，
所以，平面平面． ……………7分
（法二）同法一，得平面．              …………………………2分
以为原点，，，分别为，轴，建立空间直角坐标系．
则，，，．     …………………………3分
所以，， ，,
，，
所以，，．                     …………………………………5分
又，不共线，，平面，
所以，平面．                           …………………………6分
而平面，
所以，平面平面．                     …………………………7分
（2）（法一）因为，平面，平面，
所以，平面．                         …………………………9分
因为平面与平面有公共点，
所以可设平面平面，．
因为平面，平面，平面平面，
所以．                                    ………………………10分
从而，，
又，且，，所以为中点，也为正方形．  12分
易知平面，所以，．
所以，是平面与平面所成锐二面角的平面角，
而，
所以平面与平面所成锐二面角为．     …………………………14分
（法二）由（1）知，平面的一个法向量是． ………………9分
设平面的一个法向量为，
因为，
所以， 取，得，所以．………………11分
设平面与平面所成锐二面角为，
则．                ………………………………13分
所以平面与平面所成锐二面角为．    …………………………14分

解析

略