题目
题型:不详难度:来源:
(1)证明:平面平面.
(2)求直线EC与平面BED所成角的正弦值.
答案
解析
试题分析:解法一利用综合法证明解题:
(1)由已知可知AE⊥AB,又AE⊥AD,所以AE⊥平面ABCD,所以AE⊥DB,又ABCD为正方形,所以DB⊥AC,所以DB⊥平面AEC,而BD平面BED,故有平面AEC⊥平面BED.
(2)如图4-1中,设AC与BD交点为O,所以OE为两平面AEC和BED的交线.过C作平面BED的垂线,其垂足必在直线EO上,即∠OEC为EC与平面BED所成的角.再设正方形边长为2,则OA=,AE=2,所以OE=,EC=,所以在三角形OEC中,利用余弦定理可得 cos∠OEC=,故所求为sin∠OEC=.
解法二利用向量法:以A为原点,AE、AB、AD分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,如图4-2所示,
(1)设正方形边长为2,则E(2,0,0),B(0,2,0),C(0,2,2),D(0,0,2) (0,2,2),=(0,-2,2),=(2,0,0),=(-2,0,2),从而有,,即BD⊥AC,BD⊥AE,所以BD⊥平面AEC,故平面BED⊥平面AEC.
(2)设平面BED的法向量为,由,得,故取 8分
而=(-2,2,2),设直线EC与平面BED所成的角为,则有 .
试题解析:解法一:
(1)由已知有AE⊥AB,又AE⊥AD,
所以AE⊥平面ABCD,所以AE⊥DB, 3分
又ABCD为正方形,所以DB⊥AC, 4分
所以DB⊥平面AEC,而BD平面BED
故有平面AEC⊥平面BED. 6分
(2)设AC与BD交点为O,所以OE为两平面AEC和BED的交线.
过C作平面BED的垂线,其垂足必在直线EO上,
即∠OEC为EC与平面BED所成的角. 7分
设正方形边长为2,则OA=,AE=2,
所以OE=,EC=, 9分
所以在三角形OEC中,
由余弦定理得 cos∠OEC=,故所求为sin∠OEC= 12分
解法二:以A为原点,AE、AB、AD分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系. 1分
(1)设正方形边长为2,则E(2,0,0),B(0,2,0),C(0,2,2),D(0,0,2) 2分
(0,2,2),=(0,-2,2),=(2,0,0),=(-2,0,2),
从而有,,
即BD⊥AC,BD⊥AE,
所以BD⊥平面AEC,
故平面BED⊥平面AEC. 6分
(2)设平面BED的法向量为,
由,得,故取 8分
而=(-2,2,2),设直线EC与平面BED所成的角为,
则有 12分
核心考点
举一反三
(1)求证:平面;
(2)求二面角的余弦值;
(3)设点是线段上一个动点,试确定点的位置,使得平面,并证明你的结论.
(1)求证:B1C∥平面A1BD;
(2)求平面A1DB与平面DBB1夹角的余弦值.
(1)证明:PA∥平面BDE;
(2)求二面角B-DE-C的余弦值.
(1)求证:;
(2)若,求直线与所成角的 余弦值;
(3)若平面与平面所成的二面角为,求的值.
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