题目
题型:不详难度:来源:
(1)证明:∥平面;
(2)求二面角的大小的余弦值.
答案
解析
试题分析:(1)要证明直线和平面平行,只需证明直线和平面内的一条直线平行,取中点,连接,则,且,由已知得,且,故,则四边形是平行四边形,可证明,进而证明∥平面,或可通过建立空间直角坐标系,用坐标表示相关点的坐标,证明直线的方向向量垂直于平面的法向量即可;(2)先求半平面和的法向量的夹角的余弦值,再观察二面角是锐二面角还是钝二面角,来决定二面角的大小的余弦值的正负,从而求解.
(1)因为,∥,所以平面.
故以为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,
则相关各点的坐标分别是,,,,
, .
所以,
因为平面的一个法向量为,
所以,
又因为平面,所以平面. 6分
(2)由(1)知,,,.
设是平面的一个法向量,由 得
,取,得,则
设是平面的一个法向量,由得
,取,则,则
设二面角的大小为,则,故二面角的大小的余弦值为.
核心考点
举一反三
(1)求异面直线与所成的角;
(2)求证:平面.
(1)求证:平面;
(2)当为何值时,二面角的大小为.
(1)求证:∥平面;
(2)求证:平面平面;
(3)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
(1)求证:;
(2)若,求二面角的余弦值.
,且,.
(1)求证:平面;
(2)求和平面所成角的正弦值;
(3)在线段上是否存在一点使得平面平面,请说明理由.
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