题目
题型:不详难度:来源:
(1)求证:;
(2)若,求二面角的余弦值.
答案
解析
试题分析:本题主要考查线线垂直、线面垂直、面面垂直、线线平行、二面角的余弦等基础知识,考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力、计算能力.第一问,利用面面垂直的性质得BC⊥平面A1ACC1,则利用线面垂直的性质得A1A⊥BC,由A1B⊥C1C,利用平行线A1A∥C1C,则A1A⊥A1B,利用线面垂直的判定得A1A⊥平面A1BC,则利用线面垂直的性质得A1A⊥A1C;第二问,建立空间直角坐标系,得到面上的点的坐标,计算出向量坐标,求出平面和平面的法向量,利用夹角公式计算出二面角的余弦值.
(1)因为平面A1ACC1⊥平面ABC,AC⊥BC,所以BC⊥平面A1ACC1,
所以A1A⊥BC.
因为A1B⊥C1C,A1A∥C1C,所以A1A⊥A1B,
所以A1A⊥平面A1BC,所以A1A⊥A1C. 5分
(2)建立如图所示的坐标系C-xyz.
设AC=BC=2,因为A1A=A1C,
则A(2,0,0),B(0,2,0),A1(1,0,1),C(0,0,0).
=(0,2,0),=(1,0,1),=(-2,2,0).
设n1=(a,b,c)为面BA1C的一个法向量,则n1·=n1·=0,
则,取n1=(1,0,-1).
同理,面A1CB1的一个法向量为n2=(1,1,-1). 9分
所以cosán1,n2ñ==,
故二面角B-A1C-B1的余弦值为. 12分
核心考点
举一反三
,且,.
(1)求证:平面;
(2)求和平面所成角的正弦值;
(3)在线段上是否存在一点使得平面平面,请说明理由.
(1)求异面直线与所成角的大小(结果用反三角函数表示);
(2)若,求线段的长.
(Ⅰ)求四面体ABCD的体积;
(Ⅱ)求二面角C﹣AB﹣D的平面角的正切值.
(1)求证:DE∥平面FGH;
(2)若点P在直线GF上,=λ,且二面角D﹣BP﹣A的大小为,求λ的值.
(1)证明:⊥平面;
(2)若,求直线与平面所成角的正弦值.
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