题目

题型：不详难度：来源：

如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E、F、G分别是AB、AD、CD的中点，计算：

(1)·；
(2)·；
(3)EG的长；
(4)异面直线AG与CE所成角的余弦值．

答案

（1）   （2）－   （3）   （4）

解析

解：设＝a，＝b，＝c.
则|a|＝|b|＝|c|＝1，
〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°.
＝BD＝c－a，＝－a，＝b－c，
(1)·＝(c－a)·(－a)
＝a²－a·c＝；
(2)·＝ (c－a)·(b－c)
＝ (b·c－a·b－c²＋a·c)＝－；
(3)＝＋＋
＝a＋b－a＋c－b＝－a＋b＋c.
||²＝a²＋b²＋c²－a·b＋b·c－c·a＝.
即||＝，
所以EG的长为.
(4)设、的夹角为θ.
＝b＋c，＝＋＝－b＋a，
cosθ＝＝－，
由于异面直线所成角的范围是(0°，90°]，
所以异面直线AG与CE所成角的余弦值为.