题目

题型：不详难度：来源：

已知圆C的圆心在直线3x-y=0上且在第一象限，圆C与x轴相切，且被直线x-y=0截得的弦长为2

7

．
（1）求圆C的方程；
（2）若点P（x，y）是圆C上的点，满足

3

x+y-m≤0恒成立，求m的取值范围；
（3）将圆C向左移1个单位，再向下平移3个单位得到圆C₁，P为圆C₁上第一象限内的任意一点，过点P作圆C₁的切线l，且l交x轴于点A，交y轴于点B，设

OM

=

OA

+

OB

，求丨

OM

丨的最小值（O为坐标原点）．

答案

（1）根据题意设圆心C（a，3a），a＞0，半径为3a，
∵圆心到直线x-y=0的距离d=

|a-3a|

2

=2a，弦长为2

7

，半径为3a，
∴2

7

=2

r2-d2

，即7a²=7，
解得：a=1，则圆C方程为（x-1）²+（y-3）²=9．
（2）根据圆C方程设x=1+cosα，y=3+sinα，
不等式

3

x+y-m≤0恒成立，即为m≥

3

x+y恒成立，
∵

3

x+y=

3

+3+

3

cosα+sinα=

3

+3+2sin（α+θ）的最大值为

3

+3+2=

3

+5，
则m满足m≥

3

+5，故 m的取值范围为[

3

+5，+∞）．
（3）由条件利用平移规律确定出圆C₁的方程为 （x-0）²+（y-0）²=9，
设点P的坐标为（x₀，y₀），则有x₀＞0，y₀＞0，且x02+y02=9，
故切线l的方程为 x₀•x+y₀•y=9，
由此可得点A（

9

x0

，0），点B的坐标为（0，

9

y0

），
∴

OM

=

OA

+

OB

=（

9

x0

，

9

y0

），