题目

题型：不详难度：来源：

设G为△ABC的重心，

3

|BC|

GA

+2|CA|

GB

+2

3

|AB|

GC

=

0

，则

AB • BC

BC • AC

的值=______．

答案

因为

3

|BC|

GA

+2|CA|

GB

+2

3

|AB|

GC

=

0

设三角形的边长顺次为a，b，c，根据正弦定理得：

3

a

GA

+2b

GB

+2

3

c

GC

=

0

，
由点G为三角形的重心，根据中线的性质及向量加法法则得：
3

GA

=

BA

+

CA

，3

GB

=

CB

+

AB

，3

GC

=

AC

+

BC

，
代入上式得：

3

a（

BA

+

CA

）+2b（

AB

+

CB

）+2

3

c（

AC

+

BC

）=

0

，
又

CA

=

CB

+

BA

，上式可化为：

3

a（2

BA

+

CB

）+2b（

AB

+

CB

）+2

3

c（-

BA

+2

BC

）=

0

，
即（2

3

a-2b-2

3

c）

BA

+（-

3

a-2b+4

3

c）

BC

=

0

，
则有

2 3 a-2b-2 3 c=0①  - 3 a-2b+4 3 c=0②

，令b=

3

，解得：

a=2 c=1

，
所以cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

22+12- 3 2

2×2×1

=

1

2

，
cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

22+ 3 2-12

2×2× 3

=

3

2

，
∴

AB • BC

BC • AC

=

| AB |• |BC |cos(π-B)

| BC |•| AC |cosC

=

-c•cosB

bcosC

=

-1• 1 2

3 × 3 2

=-

1

3

故答案为：-

1

3