题目

题型：不详难度：来源：

给出以下三个命题，其中所有正确命题的序号为______．
①设

a

，

b

均为单位向量，若|

a

+

b

|＞1，则θ∈[0，

2π

3

)
②函数f （x）=xsinx+l，当x₁，x₂∈[-

π

2

，

π

2

]，且|x₁|＞|x₂|时，有f（x₁）＞f（x₂），
③已知函数f （x）=|x²-2|，若f （a）=f （b），且0＜a＜b，则动点P（a，b）到直线4x+3y-15=0的距离的最小值为1．

答案

①设

a

与

b

的夹角为θ，
∵|

a

+

b

|＞1，∴（

a

+

b

）²=

a

²+2

a

•

b

+

b

²＞1…（*）
∵向量

a

，

b

均为单位向量，可得|

a

|=|

b

|=1
∴代入（*）式，得1+2

a

•

b

+1=1＞1，所以

a

•

b

＞-

1

2

根据向量数量积的定义，得|

a

|•|

b

|cosθ＞-

1

2

∴cosθ＞-

1

2

，结合θ∈[0，π]，得θ∈[0，

2π

3

)．①正确．
②由已知得f（x）是偶函数，且在区间[0，

π

2

]上递增，
由|x₁|＞|x₂|得f（|x₁|）＞f（|x₂|），即有f（x₁）＞f（x₂），②正确；
③∵函数f（x）=|x²-2|，
若0＜a＜b，且f（a）=f（b），
∴b²-2=2-a²，
即 a²+b²=4，故动点P（a，b）在圆a²+b²=4上，
动点P（a，b）到直线4x+3y-15=0的距离的最小值为圆心到直线的距离减去圆的半径：d-r=

15

5

-2=1，正确．
故答案为：①②③．