题目

题型：不详难度：来源：

在下列命题中：
①若f（x）是定义在[-1，1]上的偶函数，且在[-1，0]上是增函数，θ∈（

π

4

，

π

2

），则f（sinθ）＞f（cosθ）；
②若锐角α、β满足cosα＞sinβ，则α+β＜

π

2

；
③若f（x）=2cos²

x

2

-1，则f（x+π）=f（x）对x∈R恒成立；
④对于任意实数a，要使函数y=5cos（

2k+1

3

πx-

π

6

）（k∈N^*）在区间[a，a+3]上的值

5

4

出现的次数不小于4次，又不多于8次，则k可以取2和3．       
其中真命题的序号是______．

答案

①由偶函数对称区间上的单调性相反可知，函数在[0，1]上单调递减，又θ∈（

π

4

，

π

2

）时，1＞sinθ＞cosθ＞0，则f（sinθ）∠f（cosθ）；故①错误
②若锐角α、β满足cosα＞sinβ=cos（

π

2

-β），则α＜

π

2

-β，则α+β＜

π

2

；②正确
③f（x）=2cos²

x

2

-1=cosx，函数的周期为T=2π，则f（x+π）=f（x）对x∈R恒成立；③错误
④由于函数y=5cos（

2k+1

3

πx-

π

6

）在一个周期内函数值

5

4

出现两次，若满在区间[a，a+3]上的值

5

4

出现的次数不小于4次，又不多于8次，则

3T 2 ≤3 7T 2 ≥3

当k=2时，周期T=

6

5

，则函数y=5cos（

2k+1

3

πx-

π

6

）在区间[a，a+3]内函数值

5

4

出现6次，满足题意     
当k=3时，周期T=

6

7

，则函数y=5cos（

2k+1

3

πx-

π

6

）在区间[a，a+3]内函数值

5

4

出现最大出现8次，满足题意；故④正确
故答案为：②④