题目

题型：不详难度：来源：

给出下列五个命题：
①命题“任意x∈R，x²≥0”的否定是“存在x∈R，x²≤0”；
②若等差数列{a_n}前n项和为S_n，则三点（10，

S10

10

），（100，

S100

100

），（110，

S110

110

）共线；
③若函数f（x）=x²+（a+2）x+b，x∈[a，b]的图象关于直线x=1对称，则f（x）的最大值为30；
④在△ABC中，若cos（2B+C）+2sinAsinB=0，则△ABC一定是等腰三角形；
⑤函数||x-1|-|x+1||≤a恒成立，则实数a的取值范围是[2，+∞）．
其中假命题的序号是______．（填上所有假命题的序号）

答案

①因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“任意x∈R，x²≥0”的否定是“存在x∈R，x²＜0”，所以①错误．
②在等差数列中，

Sn

n

=a1+

(n-1)d

2

，所以

S10

10

=a1+

9

2

d，

S100

100

=a1+

99

2

d，

S110

110

=a1+

109

2

d，所以对应三点A（10，

S10

10

），B（100，

S100

100

），C（110，

S110

110

）的向量为

AB

=(90，45d)，

BC

=(10，5d)，所以

AB

=9

BC

，即

AB

，

BC

共线，所以A，B，C三点共线，所以②正确．
③因为函数的对称轴为x=1，所以-

a+2

2

=1，解得a=-4，此时b=6，所以f（x）=x²-2x+6=（x-1）²+5，所以当x=-4或x=6时，有最大值30，所以③正确．
④由cos（2B+C）+2sinAsinB=0得cos（B+π-A）+2sinAsinB=0，所以-cos（B-A）+2sinAsinB=0，即-cosAcosB+sinAsinB=0，所以cos（A+B）=0，即cosC=0，所以c=90°，故△ABC一定是直角三角形，所以④错误．
⑤因为||x-1|-|x+1||的最大值为2，所以要使函数||x-1|-|x+1||≤a恒成立，则a≥2，所以⑤正确．
故答案为：①④．